Triángulo

Dado el triángulo J(-2,3), K(6,5) y L(4,7) encuentra:

-El circuncentro

-El ortocentro

-El baricentro

Circuncentro

Para hallar el Circuncentro primero obtenemos las mediatrices.

Obtenemos las mediatrices encontrando el punto medio de una de las rectas y su pendiente recíproca y de signo contrario, pues es perpendicular.

-Mediatriz de la recta JK:

1.-Punto medio de JK

P=( (X1+X2)/2 , (Y1+Y2)/2 )

P=( (-2+6)/2 , (3+5)/2 )

P=( 4/2 , 8/2 )

P=( 2,4 )

2.-Pendiente recíproca y de signo contrario de JK

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(5-3)/(6-(-2))

m=2/8

m=1/4

Por lo tanto

m=-4

3.-Ecuación de la recta usando el punto medio y la pendiente

Y-Y1=m(X-X1)

Y-4=-4(X-2)

Y-4=-4X+8

4X+Y-12=0

-Mediatriz de la recta KL:

1.-Punto medio de KL

P=( (X1+X2)/2 , (Y1+Y2)/2 )

P=( (6+4)/2 , (5+7)/2 )

P=( 10/2 , 12/2 )

P=( 5,6 )

2.-Pendiente recíproca y de signo contrario de KL

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(7-5)/(4-6)

m=2/-2

m=-1

Por lo tanto

m=1

3.-Ecuación de la recta usando el punto medio y la pendiente

Y-Y1=m(X-X1)

Y-6=1(X-5)

Y-6=-X-5

X-Y+1=0

-Mediatriz de la recta JL:

1.-Punto medio de JL

P=( (X1+X2)/2 , (Y1+Y2)/2 )

P=( (-2+4)/2 , (3+7)/2 )

P=( 2/2 , 10/2 )

P=( 1,5 )

2.-Pendiente recíproca y de signo contrario de JL

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(7-3)/(4-(-2))

m=4/6

m=2/3

Por lo tanto

m=-2/3

3.-Ecuación de la recta usando el punto medio y la pendiente

Y-Y1=m(X-X1)

Y-5=-3/2(X-1)

(2)Y-5=-3X+3

2Y-10=-3X+3

3X+2Y-13=0

Obtenemos el Circuncentro

4X+Y-12=0

X-Y+1=0

1.-Despejamos la ecuación X-Y+1=0

X=Y-1

Y=X+1

2.-Obtenemos X sustituyendo los valores en la otra ecuación

4X+(X+1)-12

4X+X+1-12

5X-11

X=11/5

3.-Obtenemos Y sustituyendo los valores en la otra ecuación

4(Y-1)+Y-12

4Y-4+Y-12

5Y-16

Y=16/5

El Circuncentro se encuentra en ( 11/5 , 16/5 )

Ortocentro

Para hallar el Ortocentro primero obtenemos las alturas del triángulo

Las alturas se obtienen con la pendiente recíproca y de signo contrario (perpendicular) de una recta y con el vértice opuesto a esa recta.

-Altura de la recta JK al vértice L:

1.-Pendiente recíproca y de signo contrario de  la recta JK:

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(5-3)/(6-(-2))

m=2/8=1/4

Por lo tanto

m=-4

2.-Ecuación de la recta usando la pendiente y el punto L:

Y-Y1=m(X-X1)

Y-7=-4(X-4)

Y-7=-4X+16

4X+Y-23=0

-Altura de la recta KL al vértice J:

1.-Pendiente recíproca y de signo contrario de  la recta JK:

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(7-5)/(4-6)

m=2/-2=-1

Por lo tanto

m=1

2.-Ecuación de la recta usando la pendiente y el punto J:

Y-Y1=m(X-X1)

Y-3=1(X-(-2))

Y-3=X+2

X-Y+5=0

-Altura de la recta JL al vértice K:

1.-Pendiente recíproca y de signo contrario de  la recta JK:

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(7-3)/(4-(-2))

m=4/6=2/3

Por lo tanto

m=-3/2

2.-Ecuación de la recta usando la pendiente y el punto K:

Y-Y1=m(X-X1)

Y-5=-3/2(X-6)

Y-5=-3/2X+9

3/2X+Y-14=0

Obtenemos el Ortocentro

4X+Y-23=0

X-Y+5=0

1.-Despejamos la ecuación X-Y+5=0

X=Y-5

Y=X+5

2.-Obtenemos X sustituyendo los valores en la otra ecuación

4X+(X+5)-23

4X+X+5-23

5X-18

X=18/5

3.-Obtenemos Y sustituyendo los valores en la otra ecuación

4(Y-5)+Y-23

4Y-20+Y-23

5Y-43

5Y=43

Y=43/5

El Ortocentro se encuentra en ( 18/5 , 43/5 )

Baricentro

Para hallar el baricentro primero obtenemos las medianas

Obtenemos las medianas encontrando el punto medio de una recta y la pendiente de ese punto medio y el vértice opuesto:

-Mediana de la recta JK al punto L:

1.-Punto medio de JK:

P=( (X1+X2)/2 , (Y1+Y2)/2 )

P=( (-2+6)/2 , (3+5)/2 )

P=( 4/2 , 8/2 )

P=( 2,4 )

2.-Pendiente de P y L:

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(4-7)/(2-4)

m=(-3/-2)=3/2

3.-Ecuación de la recta:

Y-Y1=m(X-X1)

Y-4=3/2(X-2)

2Y-8=3X-6

3X-2Y+2=0

-Mediana de la recta KL al punto J:

1.-Punto medio de KL:

P=( (X1+X2)/2 , (Y1+Y2)/2 )

P=( (6+4)/2 , (5+7)/2 )

P=( 10/2 , 12/2 )

P=( 5,6 )

2.-Pendiente de P y L:

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(3-6)/(-2-5)

m=(-3/-7)=3/7

3.-Ecuación de la recta:

Y-Y1=m(X-X1)

Y-6=3/7(X-5)

7Y-42=3X-15

3X-7Y+27=0

-Mediana de la recta JL al punto K:

1.-Punto medio de JL:

P=( (X1+X2)/2 , (Y1+Y2)/2 )

P=( (-2+4)/2 , (3+7)/2 )

P=( 2/2 , 10/2 )

P=( 1,5 )

2.-Pendiente de P y L:

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(5-5)/(6-1)

m=(0/5)=0

3.-Ecuación de la recta:

Y-Y1=m(X-X1)

Y-5=0(X-1)

Y-5=0

Obtenemos el baricentro

3X-2Y+2=0

3X-7Y+27=0

1.-Despejamos la ecuación 3X-7Y+27=0

X=(7Y-27)/3

Y=(3X+27)/7

2.-Obtenemos X sustituyendo los valores en la otra ecuación

3X-2((3X+27)/7)+2

3X-((6X+54)/7)+2

7=3X-6X+54+2

7=-3x+56

7(3X)=56

21X=56

X=56/21

3.-Obtenemos Y sustituyendo los valores en la otra ecuación

3((7Y-27)/3)-2Y+2

((21Y-81)/3)-2Y+2

7Y-27-2Y+2

5y-25

Y=25/5

Y=5

El Baricentro se encuentra en ( 56/21 , 5 )

Producto cartesiano (actividad 1)

En teoría de conjuntos, el producto cartesiano es un producto directo de conjuntos. En particular, el producto cartesiano de dos conjuntos X y Y es el conjunto de todos los pares ordenados en los que el primer componente pertenece a X y el segundo a Y.

Si tenemos dos conjuntos A y B, y tratamos de armar todos los pares posibles  formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B, obtendremos  el producto cartesiano de los dos conjuntos. Se escribe: AxB

Representacion en el plano cartesiano

Los pares ordenados (a, b) Î A ´ B se pueden representar como puntos que corresponden al cruce de columnas que representan los elementos de A  y  filas que representan los elementos de B.

Ejemplo

A={1, 2, 3}          y            B={5, 6, 7}

AxB={(1,5), (1,6), (1,7), (2,5), (2,6), (2,7), (3,5), (3,6), (3,7)}

La representación grafica seria:

Si el producto cartesiano abarca la parte de los números reales de los conjuntos, entonces se limita la zona con líneas continuas si los valores son cerrados, o con líneas discontinuas si los valores son abiertos

Ejemplo

A={x∈R/-3≤x<5}          y          B={x∈R/3<x≤6}

AxB=

Dominio y contradominio

El dominio del producto cartesiano equivale al primer conjunto, ya que contiene  todos los valores que puede tomar X, mientras el segundo conjunto es el contradominio, que es el que contiene todos los valores que toma Y

Relación (actividad 2)

Una relación matemática es la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.


El primer conjunto de componentes se llama Dominio (todos los valores que puede tomar X en la funcion para representarlos en la grafica), mientras al segundo conjunto de componentes es el Contradominio .

A×B={(x,y)/x∈A y y∈B}

Rango: Todos los valores de Y que puede tomar la función y representarlos en la gráfica


En este caso el conjunto X es el dominio, mientras el conjunto Y el contradominio.


Una relación , de los conjuntos A1,A2...An es un subconjunto del producto cartesiano
R⊆A1×A2...×An
El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjuntos que forman tuplas (secuencias ordenadas de objetos): R(a1,a2,...,an o bien (a1,a2,...,an)∈R



Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son iguales: en este caso se representa como , pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n: R⊆An

Tipos de relaciones:

Se diferencian de acuerdo a el número de elementos con que el dominio se relaciona con el contradominio:

• Relación uno a uno: cada elemento del dominio se relaciona con solo uno del contradominio.
• Relación varios con varios: dos o más elementos del dominio estan relacionados con uno del contradominio
• Relación uno a varios: un elemento de contradominio esta asociado con dos o más elementos del contradominio

Tambien se diferencian los tipos según el número de conjuntos en el producto cartesiano, que es el número de términos de la relación

• Relación Unaria: de un solo conjunto
• R⊆A, R(a)
• Relación Binaria: con dos conjuntos
• R⊆A1×A2, R(a1,a2)
• Relación Ternaria: con tres conjuntos
• R⊆A1×A2×A3, R(a1,a2,a3)
• Relación Cuaternaria: con cuatro conjuntos R⊆A1×A2×A3×A4, R(a1,a2a3a4)
• Relación n-aria: caso general con n conjuntos R⊆A1×A2...×An, R(a1,a2,...,an)

Entre las relaciones matemáticas estan:

• Relación reflexiva: todo elemento de A está relacionado consigo mismo mediante R.
• ∀x∈A, xRx
• Relación simétrica: es simétrica cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro también está relacionado con el primero.
• ∀x,y∈A, xRy⇒yRx
• Relación antisimetrica: si dos elementos de A se relacionan entre sí mediante R, entonces estos elementos son iguales.
• ∀a,b∈A, aRb∧bRa⇒a=b
• Relación transitiva: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
• ∀a,b,c∈A: aRb∧bRc→aRc

Función (actividad 2)

Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con uno y solo un  elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha.
No estamos en presencia de una función cuando:

• De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha
• De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas

Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.
A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la 'máquina' funciona) se llama dominio de definición de la función.
Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se llama recorrido de la función.

Clasificación de funciones

• Función Inyectiva:

• Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

• Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

• Función Sobreyectiva:

Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva (tambien llamada sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .

A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.

• Función Biyectiva:

Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez .

Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.

 

• Función Par:

Una función f: R!R es par si se verifica que " x " R vale f(-x) = f(x)

Si f: R!R es una función par, entonces su gráfico es lateralmente simétrico respecto del eje vertical. “Simetría axial respecto de un eje o recta” (el dominio tiene que ser un conjunto simetrico respecto al origen)

Se dice que una función es par si f(x) = f(-x)

 

• Función impar:

Una función f: R!R es impar si se verifica que " x " R vale f(-x) = -f(x)

Si f: R!R es una función impar, entonces su gráfico es simétrico respecto del origen de coordenadas. “Simetría central respecto de un punto”. (el dominio tiene que ser un conjunto simetrico respecto al origen)

En el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la función es impar. Muchas funciones reales no son pares ni impares.

 

• Función Creciente:

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que f( x1 ) < f( x2 ).

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto cumpliendose f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

 

• Función Decreciente:

Una función y= f(x) es decreciente si al aumentar algebraicamente “x”, la “y” disminuye, es decir, la función es decreciente en un intervalo si es decreciente en todos los valores del intervalo.

Cuando la derivada es negativa, la tangente forma un ángulo obtuso con el eje x y tiene pendiente negativa.

Una función f(x) es estrictamente decreciente en un intervalo si para cualquier par de números a, b de dicho intervalo tales que a sea menor b se verifica que f(a) es mayor que f(b)

Función periódica:

Una función es periódica cuando la función 'repite' los mismos valores. Dicho matemáticamente: f(x+T) = f(x)

La función sen(x) es periódica (periodo 360º) pues sen(x) = sen (x + 360)

La aproximación de una función periódica mediante una suma de armónicos es un problema importante en las Matemáticas, la Física y las Ingenierías, baste citar todos los fenómenos vibratorios, ondulatorios que son fundamento de la acústica, de las telecomunicaciones, etc.