Triángulo

Dado el triángulo J(-2,3), K(6,5) y L(4,7) encuentra:

-El circuncentro

-El ortocentro

-El baricentro

Circuncentro

Para hallar el Circuncentro primero obtenemos las mediatrices.

Obtenemos las mediatrices encontrando el punto medio de una de las rectas y su pendiente recíproca y de signo contrario, pues es perpendicular.

-Mediatriz de la recta JK:

1.-Punto medio de JK

P=( (X1+X2)/2 , (Y1+Y2)/2 )

P=( (-2+6)/2 , (3+5)/2 )

P=( 4/2 , 8/2 )

P=( 2,4 )

2.-Pendiente recíproca y de signo contrario de JK

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(5-3)/(6-(-2))

m=2/8

m=1/4

Por lo tanto

m=-4

3.-Ecuación de la recta usando el punto medio y la pendiente

Y-Y1=m(X-X1)

Y-4=-4(X-2)

Y-4=-4X+8

4X+Y-12=0

-Mediatriz de la recta KL:

1.-Punto medio de KL

P=( (X1+X2)/2 , (Y1+Y2)/2 )

P=( (6+4)/2 , (5+7)/2 )

P=( 10/2 , 12/2 )

P=( 5,6 )

2.-Pendiente recíproca y de signo contrario de KL

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(7-5)/(4-6)

m=2/-2

m=-1

Por lo tanto

m=1

3.-Ecuación de la recta usando el punto medio y la pendiente

Y-Y1=m(X-X1)

Y-6=1(X-5)

Y-6=-X-5

X-Y+1=0

-Mediatriz de la recta JL:

1.-Punto medio de JL

P=( (X1+X2)/2 , (Y1+Y2)/2 )

P=( (-2+4)/2 , (3+7)/2 )

P=( 2/2 , 10/2 )

P=( 1,5 )

2.-Pendiente recíproca y de signo contrario de JL

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(7-3)/(4-(-2))

m=4/6

m=2/3

Por lo tanto

m=-2/3

3.-Ecuación de la recta usando el punto medio y la pendiente

Y-Y1=m(X-X1)

Y-5=-3/2(X-1)

(2)Y-5=-3X+3

2Y-10=-3X+3

3X+2Y-13=0

Obtenemos el Circuncentro

4X+Y-12=0

X-Y+1=0

1.-Despejamos la ecuación X-Y+1=0

X=Y-1

Y=X+1

2.-Obtenemos X sustituyendo los valores en la otra ecuación

4X+(X+1)-12

4X+X+1-12

5X-11

X=11/5

3.-Obtenemos Y sustituyendo los valores en la otra ecuación

4(Y-1)+Y-12

4Y-4+Y-12

5Y-16

Y=16/5

El Circuncentro se encuentra en ( 11/5 , 16/5 )

Ortocentro

Para hallar el Ortocentro primero obtenemos las alturas del triángulo

Las alturas se obtienen con la pendiente recíproca y de signo contrario (perpendicular) de una recta y con el vértice opuesto a esa recta.

-Altura de la recta JK al vértice L:

1.-Pendiente recíproca y de signo contrario de  la recta JK:

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(5-3)/(6-(-2))

m=2/8=1/4

Por lo tanto

m=-4

2.-Ecuación de la recta usando la pendiente y el punto L:

Y-Y1=m(X-X1)

Y-7=-4(X-4)

Y-7=-4X+16

4X+Y-23=0

-Altura de la recta KL al vértice J:

1.-Pendiente recíproca y de signo contrario de  la recta JK:

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(7-5)/(4-6)

m=2/-2=-1

Por lo tanto

m=1

2.-Ecuación de la recta usando la pendiente y el punto J:

Y-Y1=m(X-X1)

Y-3=1(X-(-2))

Y-3=X+2

X-Y+5=0

-Altura de la recta JL al vértice K:

1.-Pendiente recíproca y de signo contrario de  la recta JK:

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(7-3)/(4-(-2))

m=4/6=2/3

Por lo tanto

m=-3/2

2.-Ecuación de la recta usando la pendiente y el punto K:

Y-Y1=m(X-X1)

Y-5=-3/2(X-6)

Y-5=-3/2X+9

3/2X+Y-14=0

Obtenemos el Ortocentro

4X+Y-23=0

X-Y+5=0

1.-Despejamos la ecuación X-Y+5=0

X=Y-5

Y=X+5

2.-Obtenemos X sustituyendo los valores en la otra ecuación

4X+(X+5)-23

4X+X+5-23

5X-18

X=18/5

3.-Obtenemos Y sustituyendo los valores en la otra ecuación

4(Y-5)+Y-23

4Y-20+Y-23

5Y-43

5Y=43

Y=43/5

El Ortocentro se encuentra en ( 18/5 , 43/5 )

Baricentro

Para hallar el baricentro primero obtenemos las medianas

Obtenemos las medianas encontrando el punto medio de una recta y la pendiente de ese punto medio y el vértice opuesto:

-Mediana de la recta JK al punto L:

1.-Punto medio de JK:

P=( (X1+X2)/2 , (Y1+Y2)/2 )

P=( (-2+6)/2 , (3+5)/2 )

P=( 4/2 , 8/2 )

P=( 2,4 )

2.-Pendiente de P y L:

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(4-7)/(2-4)

m=(-3/-2)=3/2

3.-Ecuación de la recta:

Y-Y1=m(X-X1)

Y-4=3/2(X-2)

2Y-8=3X-6

3X-2Y+2=0

-Mediana de la recta KL al punto J:

1.-Punto medio de KL:

P=( (X1+X2)/2 , (Y1+Y2)/2 )

P=( (6+4)/2 , (5+7)/2 )

P=( 10/2 , 12/2 )

P=( 5,6 )

2.-Pendiente de P y L:

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(3-6)/(-2-5)

m=(-3/-7)=3/7

3.-Ecuación de la recta:

Y-Y1=m(X-X1)

Y-6=3/7(X-5)

7Y-42=3X-15

3X-7Y+27=0

-Mediana de la recta JL al punto K:

1.-Punto medio de JL:

P=( (X1+X2)/2 , (Y1+Y2)/2 )

P=( (-2+4)/2 , (3+7)/2 )

P=( 2/2 , 10/2 )

P=( 1,5 )

2.-Pendiente de P y L:

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

m=(5-5)/(6-1)

m=(0/5)=0

3.-Ecuación de la recta:

Y-Y1=m(X-X1)

Y-5=0(X-1)

Y-5=0

Obtenemos el baricentro

3X-2Y+2=0

3X-7Y+27=0

1.-Despejamos la ecuación 3X-7Y+27=0

X=(7Y-27)/3

Y=(3X+27)/7

2.-Obtenemos X sustituyendo los valores en la otra ecuación

3X-2((3X+27)/7)+2

3X-((6X+54)/7)+2

7=3X-6X+54+2

7=-3x+56

7(3X)=56

21X=56

X=56/21

3.-Obtenemos Y sustituyendo los valores en la otra ecuación

3((7Y-27)/3)-2Y+2

((21Y-81)/3)-2Y+2

7Y-27-2Y+2

5y-25

Y=25/5

Y=5

El Baricentro se encuentra en ( 56/21 , 5 )